Cálculo Vectorial

Introducción

El cálculo vectorial es una herramienta fundamental para trabajar en Mecánica Clásica. Los fenómenos descritos en esta rama de la Física pueden ser descritos de manera elegante y consistente por medio de vectores, los cuales permiten tener independencia en los resultados debido a que:

1. Los resultados son los mismos independientemente de que se hayan usado uno u otro tipo de coordenadas (cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas...etc).


2. Los resultados son independientes de la elección del origen del sistema de coordenadas escogido.

$\label{img:1}\textrm{Científico de la Suerte}$. Richard Feynman te enseña a pintar los vectores de mil maneras divertidas en sus "Lectures on Physics". Su genialidad, consejos y motivación por la Física te ayudarán a lo largo de este post.

1. Concepto de escalar

Los escalares son cantidades invariantes frente a transformaciones de coordenadas. Ejemplos de propiedades físicas asociadas a escalares son la masa $ m(x,y) $ y la Temperatura $ T(x,y) $.

$\label{fig:1}\textrm{Figura 1}$. Conjunto de partículas dispuestas en distintas coordenadas del espacio. A cada partícula le corresponde un valor númerico de la propiedad física de estudio, ya sea la masa $m$ o la temperatura $T$. $(a)$. Partículas en el sistema $K$. $(b)$ Partículas en el sistema $K'$. Fuente: $[1]$. 

Si se tiene un sistema de coordenadas cartesianas $ K(x,y) $ y otro sistema $ K{'}(x{'},y{'}) $ cuyos ejes están girados respecto al anterior, tanto la masa como la temperatura de las partículas que estudiemos seguirá siendo la misma desde el punto de vista de ambos sistemas

$$ m(x,y) = m^{'}(x{'},y{'}) $$

$$ T(x,y) = T{'}(x{'},y{'}) $$

$\label{fig:2}\textrm{Figura 2}$. Sistema $K$ y sistema $K^{'}$. Ambos comparten un eje y los otros dos están girados $30^{\circ}$ uno respecto del otro. Fuente: $[1]$.

Si se quieren conocer propiedades como la dirección de la velocidad de las partículas y la dirección de las fuerzas que actúan sobre ellas, es necesario trabajar con vectores.

Considerando los sistemas de coordenadas cartesianas girados uno respecto del otro $ K(x,y,z) $ y $K^{'}(x^{'}, y^{'}, z^{'})$, es posible expresar las coordenadas de uno en función de las del otro como

$$ x^{'}_{i} = \sum_{j=1}^5 \lambda_{i,j} x_{j}\qquad i = 1,2,3 \label{eq:3} $$

$$ x_i = \sum_{j=1}^5 \lambda_{i,j} x^{'}_{j}\qquad i = 1,2,3 $$

donde $\lambda_{i,j}$ es la matriz de transformación compuesta por los cosenos directores y tiene la forma

$$ \mathbf{\lambda_{i,j}} = \left(\begin {array}{lcr} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32} & \lambda_{33} \\  \end{array}\right) $$

Considerando una transformación como $\eqref{eq:3}$ y teniendo en cuenta

$$ \sum_{j}\lambda_{ij}\lambda_{kj} = \delta_{ik} = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & si & i = k  \\  0 & si & i \neq k \end{array}\right.$$

donde $\delta{ik}$ es la denominada Delta de Kronecker. Si bajo estas transformaciones una cierta cantidad $\phi$ no es afectada, a dicha cantidad se le denomina escalar.

2. Concepto de vector

Si por el contrario, una cantidad $\vec{A} = (A_{1},A_{2},A_{3})$ sí es afectada por las transformaciones anteriores, a dicha cantidad se le denomina vector.  

3. Propiedades y operaciones de escalares y vectores

Considerando los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ y los escalares $\phi$,$\Phi$, y $\epsilon$

3.1 Propiedad Conmutativa

$$ \vec{A}_{i} + \vec{B}_{i} = \vec{B}_{i} + \vec{A}_{i} $$

$$ \phi + \Phi = \Phi + \phi $$

3.2 Propiedad Asociativa

$$ \vec{A}_{i} + (\vec{B}_{i} + \vec{C}_{i}) = (\vec{A}_{i} + \vec{B}_{i}) + \vec{C}_{i} $$

$$ \phi + (\Phi + \epsilon) = (\phi + \Phi) + \epsilon $$

3.3 Multiplicación por un escalar

$$ \epsilon \vec{A} = \vec{B} $$

$$ \epsilon \phi = \Phi $$

3.4 Producto escalar

$$ \vec{A}\vec{B}  = \sum_{i} A_{i}B_{i} = AB \cos{(A,B)} = AB \cos{(\theta)} $$

3.5 Producto vectorial 

$$ \mathbf{\vec{C}} = \vec{A} \times \vec{B} = AB\sin(A,B)\vec{n} =AB\sin(\theta)\vec{n} = \left|\begin {array}{lcr} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{1} & B_{2} & B_{3} \\ \end{array}\right| $$

Las componentes del vector $\vec{C}$ se pueden expresar como

$$ C_{i} = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}A_{j}B_{k} $$

donde $ \epsilon_{ijk} $ es el tensor de Levi - Civita

$$ \epsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & si & \textrm{i,j,k forman una permutación par de 1,2,3} \\ -1 & si & \textrm{ i,j,k forman una permutación impar de 1,2,3} \\ 0 & si & \textrm{Caso Contrario} \equiv \textrm{todos los índices son distintos} \end{array} \right. $$

$\label{fig:3}\textrm{Figura 3}$. Representación de tres vectores perpendiculares ilustrando el producto vectorial. Fuente: $[1]$.

3.5.1 Propiedades

A partir de la relación entre la Delta de Kronecker y el tensor de Levi Civita se obtiene

$$ \sum_{i}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \label{eq:17}$$

y a partir de $\eqref{eq:17}$ se consiguen probar tres resultados: el triple producto escalar, el triple producto vectorial y la Identidad de Jacobi. Respectivamente, ambos vienen representados por

$$ \vec{A}(\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C}(\vec{A} \times \vec{B}) $$

$$ \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A}\vec{C}) - \vec{C}(\vec{A}\vec{B}) $$

$$ \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) = 0 $$

3.6 Norma matemática o Módulo

Físicamente, expresa la distancia o longitud del vector en el espacio euclídeo. Para un cierto vector $\vec{A}$

$$ \| \vec{A} \| = \sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2} = A $$

1.3.6.1 Relación de la norma con el producto escalar

$$ \left \| \vec{A} + \vec{B} \right \| = \sqrt{\vec{A}^2 + \vec{B}^2 + 2 \vec{A} \vec{B}} $$

1.3.6.2 Desigualdad triangular

$$ \left \|  \vec{A} + \vec{B} \right \| \leq \|\vec{A}\| + \|\vec{B}\| $$

$\label{fig:4}\textrm{Figura 4}$. Representación de un vector y sus componentes en coordenadas cartesianas en el Espacio Euclídeo. Fuente: $[1]$.

3.7 Vectores Unitarios

Los vectores unitarios se usan para expresar un vector en términos de las componentes de los ejes coordenados. Son vectores con una longitud igual a a la unidad de longitud usada para dicho eje de coordenadas. Por ejemplo, el vector unitario a lo largo de la dirección radial descrita por el vector $\vec{R}$ es

$$ \vec{e_{R}} = \frac{\vec{R}}{\|\vec{R}\|} $$

$\label{fig:5}\textrm{Figura 5}$. Vectores unitarios y componentes de un vector en dos dimensiones. Fuente: $[2]$.

Un vector $ \vec{A} $ se expresa generalmente como

$$ \vec{A} = \sum_{i}^3 A_{i}\vec{e_{i}} = A_{1}\vec{e_{1}} + A_{2}\vec{e_{2}} + A_{3}\vec{e_{3}} $$

expresado en coordenadas cartesianas como

$$ \vec{A} = A_{x}\vec{e_{x}} + A_{y}\vec{e_{y}} + A_{z}\vec{e_{z}} = A_{i}\vec{i} + A_{j}\vec{j} + A_{k}\vec{k} $$

expresado en coordenadas polares

$$ \vec{A} = A_{1}\vec{e_{r}} + A_{2}\vec{e_{\theta}} $$

expresado en coordenadas cilíndricas

$$ \vec{A} = A_{1}\vec{e_{r}} + A_{2}\vec{e_{\phi}} + A_{3}\vec{e_{z}} $$

expresado en coordenadas esféricas

$$ \vec{A} = A_{1}\vec{e_{r}} + A_{2}\vec{e_{\phi}} + A_{3}\vec{e_{\theta}} $$

En dichos sistemas de coordenadas los vectores unitarios son ortogonales, cumpliéndose

$$ \vec{e_{i}}\vec{e_{j}} = \delta_{i,j} $$

4. Diferencias entre escalar y vector

Si se deriva una función escalar $\phi = \phi(x)$ con respecto de la variable escalar $t$, desde el punto de vista de los sistemas de referencia $K(x,y,z)$ y $K^{'}(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ se tiene

$$ \phi = \phi^{'} \qquad t = t^{'} $$

y por tanto

$$ d\phi = d\phi^{'} \qquad dt = dt^{'} $$

Ello se puede expresar como

$$ \frac{d\phi}{dt} = \frac{d\phi^{'}}{dt^{'}} = \left( \frac{d\phi}{dt}\right)^{'} $$

A partir de $\eqref{eq:3}$, para un vector $\vec{A}$ derivado con respecto al escalar $t$

$$ A^{'}_{i} = \sum_{j} \lambda_{i,j} A_{j} $$

$$ \frac{dA^{'}}{dt^{'}} = \frac{d}{dt^{'}} \sum_{j}\lambda_{i,j}A_{j} = \sum_{j}\lambda_{i,j}\frac{A_{j}}{dt{'}} $$

Como se tiene que $ t = t^{'} $

$$ \frac{dA^{'}}{dt^{'}} = \left(\frac{dA}{dt}\right)^{'} =  \sum_{j}\lambda_{i,j}\left(\frac{A_{j}}{dt}\right) $$

5. Interpretación geométrica de $\frac{d\vec{A}}{ds}$

Para que $\frac{d\vec{A}}{ds}$ exista, $\vec{A}$ debe ser una función continua de la variable $s$. Teniendo una curva $\Gamma(s)$ continua, quedan seleccionados dos puntos de la curva: $P$ y $Q$. En el punto $P$ desde el origen de coordenadas elegido la variable tiene el valor $s$ y en el punto $Q$ la variable tiene el valor $(s + \Delta s)$. Usando la definición de derivada

$$ \frac{d\vec{A}}{ds} = \lim_{\Delta s \to \ 0} \frac{\Delta \vec{A}}{\Delta s} = \lim_{\Delta s \to \ 0} \frac{\vec{A}(s+\Delta s) - \vec{A}(s)}{\Delta s} $$

$\label{fig:6}\textrm{Figura 6}$. Interpretación geométrica de la variación de un vector respecto de una variable. Fuente: $[1]$.

6. Bibliografía

• $[1]. \textrm{Classical Dynamics of Particles and Systems. Editorial Thomson & Brooks Cole. Quinta edición. Autores: Stephen T. Thornton & Jerry B. Marion}.$
• $[2]. \textrm{Classical Mechanics. Editorial Springer. Edición: Undergraduate Lecture Notes in Physics. Autores: Matthew J. Benacquista & Joseph D. Romano}.$